Кип Торн - Интерстеллар: наука за кадром

Глава 12. Задыхаясь без кислорода

Вот расчеты, лежащие в основе заявлений, которые я делаю в главе 13. Это неплохой пример того, как ученый производит оценки. Цифры здесь весьма приблизительны; я указываю их точность лишь до одного знака после запятой.

Масса земной атмосферы 5 × 1018 кг, из которых около 80 процентов – это азот, а 20 процентов – молекулярный кислород, O2; тогда выходит, что в атмосфере 1018 кг O2. Количество углерода в неперегнивших растениях (геофизики называют его «органическим углеродом») составляет около 3 × 1015 кг – приблизительно половина находится в поверхностных слоях мирового океана, и половина – на суше (таблица 1 из [Hedges, Keil 1995]). Обе эти части окисляются (преобразуются в CO2) в течение примерно 30 лет. Поскольку молекула CO2 состоит из двух атомов кислорода (полученного из атмосферы) и лишь одного атома углерода, а масса атома кислорода составляет 16/12 от массы атома углерода, после того как все растения на Земле погибнут, на окисление органического углерода будет затрачено 2 × 16/12 × (3 × 1015 кг) = 1016 кг O2 – один процент всего атмосферного кислорода.

Относительно подтверждений внезапного перемешивания океанов и теории, объясняющей причины этого явления, см. [Adkins, Ingersoll, Pasquero 2005]. Стандартная оценка количества органического углерода в океанских придонных отложениях, которые могут оказаться на поверхности в результате перемешивания океанов, принимает во внимание главным образом верхний слой отложений, содержимое которого, в свою очередь, перемешивается за счет океанских течений и активности живых существ. Углерод в этом слое скапливается по мере его осаждения с оценочной скоростью около 1011 кг в год, а среднее время, которое требуется, чтобы этот углерод соединился с кислородом из океанской воды, составляет 1000 лет. Всего получается около 1,5 × 1014 кг – одна двадцатая от общего количества углерода на суше и в поверхностных слоях океана [Emerson, Hedges 1988, Hedges, Keil 1995]. Однако: 1) оценочная величина скорости осаждения может намного отличаться от действительной скорости осаждения; например Энн Баумгарт и другие [Baumgart et al. 2009], руководствуясь тщательными измерениями, оценили скорость осаждения углерода в Индийском океане около Явы и Суматры с фактором неопределенности, равным 50. При экстраполяции на весь Мировой океан это может дать до 3 × 1015 кг в верхнем слое отложений (столько же, сколько на суше и в поверхностных слоях океана); 2) изрядная часть осажденного углерода может попасть в нижний слой отложений, который не смешивается с водой и потому не окисляется, за исключением внезапных перемешиваний океана. Считается, что последний раз такое перемешивание происходило во время последнего ледникового периода, около 20 000 лет назад – этот срок в двадцать раз превышает время окисления углерода в верхнем слое отложений. Так что в нижнем слое может быть в двадцать раз больше органического углерода, чем в верхнем, а значит, и в двадцать раз больше, чем на суше и на поверхности океана. Если новое перемешивание океана выбросит этот углерод на поверхность, где он окислится, этого будет достаточно, чтобы вынудить всех людей на планете задыхаться от нехватки кислорода и умирать от отравления СО2; см. конец главы 12. Поэтому такой сценарий возможен, хоть и крайне маловероятен.

По решению Кристофера Нолана червоточина в «Интерстеллар» имеет диаметр в несколько километров. Угловой диаметр червоточины (в радианах) при наблюдении с Земли равен ее диаметру, деленному на расстояние от Земли, которое составляет около девяти астрономических единиц, или 1,4 × 109 км (радиус орбиты Сатурна). Отсюда угловой диаметр червоточины – примерно 2 км / (1,4 × 109 км) = 1,4 × 10–9 радиан, или 0,0003 секунды дуги. Радиотелескопы планово достигают такого углового разрешения с помощью интерферометрии. Наземным оптическим телескопам, использующим технологию под названием «адаптивная оптика», а также космическому телескопу «Хаббл» (по состоянию на 2014 год) доступны лишь угловые разрешения в сто раз слабее. Двойные телескопы в обсерватории Кека на Гавайях с помощью интерферометрии достигают угловых разрешений, которые в десять раз слабее, чем угловой диаметр червоточины, и вполне вероятно, что в эпоху «Интерстеллар» оптическая интерферометрия между более удаленными один от другого телескопами позволит достичь лучших разрешений, чем 0,0003 секунды дуги.

Если вы знакомы с математической записью ньютоновских законов тяготения, вас может заинтересовать их модификация, предложенная астрофизиками Богданом Пачинским и Полом Виита [Paczynski and Wiita 1980]. В этой модификации гравитационное ускорение невращающейся черной дыры вместо ньютоновского закона обратных квадратов, g = GM/r² выражается как g = GM / (r – rh)². Здесь M – это масса дыры, r – радиус снаружи дыры, на котором ощущается ускорение g, а rh = 2GM/c² – радиус горизонта невращающейся дыры. Это на удивление хорошее приближение к гравитационному ускорению, которое прогнозирует общая теория относительности[99]. Попробуйте с помощью этой модифицированной формулы сделать количественный вариант рис. 17.2[100] и определить радиус планеты Миллер. Результат будет верен лишь приблизительно, поскольку описание гравитации Гаргантюа по Пачинскому – Виита не учитывает вовлечение пространства в вихревое движение из-за вращения черной дыры.

Смысл различных математических символов, входящих в уравнение профессора (рис. 25.7), раскрыт на остальных пятнадцати досках, фотографии которых можно найти на сайте Interstellar.withgoogle.com в разделе, посвященном этой книге. Уравнение выражает «действие» S (классический предел «квантового эффективного действия») в виде интеграла лагранжевых функций L. Эти функции связаны с геометрическими свойствами пространства – времени («метриками») пятимерного балка и нашей четырехмерной браны, с набором полей, действующих в балке (которые обозначены как Q, σ, λ, ξ и φi), а также с «полями стандартной модели», действующими в нашей бране (включая электрические и магнитные поля). Поля и пространственно-временные метрики варьируются, чтобы найти экстремум (максимум, минимум или седловую точку) действия S. Условия экстремума представляют собой систему уравнений Эйлера – Лагранжа, которые определяют эволюции полей; это стандартная процедура вариационного исчисления. Профессор и Мёрф делают предположения относительно полей балка φⁱ, неизвестных функций U(Q), Hij(Q²), M (поля стандартной модели) а также неизвестных констант Wij, которые входят в лагранжевы функции. На рис. 25.8 я записываю на доске список этих предположений. Затем для каждого набора предположений профессор и Мёрф варьируют поля и метрики пространства – времени, выводят уравнения Эйлера – Лагранжа, а затем выполняют компьютерное моделирование, исследуя прогнозы этих уравнений относительно гравитационных аномалий.

Это примечание – для читателей, которые хорошо знакомы с математической записью ньютоновского закона тяготения и законов сохранения энергии и углового момента. Я предлагаю вам самостоятельно вывести нижеследующую формулу для вулканоподобной поверхности, исходя из 1) приблизительной формулы Пачинского – Виита для гравитационного ускорения Гаргантюа, g = GM / (r – rh)² (см. техническое примечание к главе 17 выше) и 2) законов сохранения энергии и углового момента. Собственно формула в системе обозначений из примечания к главе 17 с добавлением величины L – углового момента «Эндюранс» выглядит так:

Первое слагаемое здесь соответствует гравитационной энергии «Эндюранс» (на единицу массы), второе – его окружной кинетической энергии, а сумма V(r) и радиальной кинетической энергии v²/2 (где r – радиальная скорость) будет равняться полной энергии «Эндюранс» (на единицу массы). Кромка кратера соответствует такому радиусу r, где V(r) достигает максимума. Предлагаю вам с помощью этих идей и уравнений доказать мои утверждения из главы 27 – утверждения о траектории «Эндюранс», нестабильности траектории на кромке кратере и о старте к планете Эдмундс.